Яка з рівностей є правильною

Яка з рівностей є правильною

Два вирази, сполучені знаком нерівності, утворюють нерівність.

Якщо обидві частини нерівності — числа, її назива­ють числовою нерівністю. Такі нерівності бувають пра­вильні і неправильні.

Властивості числових нерівностей

Тут розглядатимемо нерівності виду а d та ін., де а, b, с, d — довільні дійсні числа.

Теорема 4. Нерівності з однаковими знаками можна почленно додавати. Наприклад, якщо a .

Функція, яку можна задати формулою у = ах 2 + bx + c, де а не = 0, b, с — довільні числа, а х — аргу­мент, називається квадратичною функцією.

Приклади квадратичної функції: у = х 2 , у=х 2 , у = х 2 + 3, у = (х+4) 2 . їх графіки — рівні параболи, тільки по-різному розміщені на координатній площині.

Графік функції у = ах 2 — теж парабола; її вершина

лежить у початку координат, а вітки напрямлені вгору, якщо а>0, або вниз, якщо а 2 +bх+с і у=ах 2 — рівні параболи, які можна сумістити паралельним перене­сенням.

Описуючи властивості функції, звичайно починають з її області визначення. Область визначення функції — проекція її графіка на вісь х; область значень функ­ції — проекція її графіка на вісь у (мал. 96). Наприк­лад, область визначення функції у = х 2 —множина всіх дійсних чисел R, область її значень — проміжок [0; ∞). Область визначення і область значень функції у = 2 — проміжки [—2; 2] і [0; 2] (мал. 97).

Якщо для будь-яких двох значень аргументу більшо­му значенню аргументу відповідає більше (менше) зна­чення функції, то таку функцію називають зростаючою (спадною). Наприклад, функції у — 2х, у = х 3 , у=зростаючі, а функції у = —2х, у=спадні. Графік зростаючої функції «іде вгору», а спадної — «опус­кається вниз».

Можна також говорити про зростання чи спадання функції не на всій області визначення, а тільки на окре­мих проміжках. Наприклад, функція у = х 2 на проміж­ку (—∞; 0) спадає, а на (0;∞) зростає.

Якщо графік функції симетричний відносно осі г/, її називають парною. Якщо графік функції симетричний відносно початку координат, її називають непарною. Функція у = f(x) парна, якщо її область визначення симетрична відносно нуля і для кожного значення х з області визначення f(—х) = f(x).

Функція, задана формулою у = х п , де х — аргумент, а п — довільне натуральне число, називається степене­вою функцією з натуральним показником. Конкретні приклади таких функцій: у= х, у= х 2 , у = х 3 , у = х 4 , у = х 5 .

Степенева функція з натуральним показником п пар­на, якщо число п парне (мал. 98), або непарна, якщо число п непарне (мал. 99).

Нерівності (підготовка до ДПА)

Відображення документу є орієнтовним і призначене для ознайомлення із змістом, та може відрізнятися від вигляду завантаженого документу. Щоб завантажити документ, прогорніть сторінку до кінця

У математиці часто доводиться порівнювати числа. Це роблять за такими правилами:

1) Число а більше від числа b, якщо різниця a – b є додатним числом; записують — a > b.

2) Число а менше від числа b, якщо різниця a – b є від’ємним числом; записують — a > b.

3) Число а дорівнює числу b, якщо різниця a – b дорівнює нулю; записують a = b.

При цьому для довільних дійсних чисел а і b виконується тільки одне з цих трьох співвідношень, бо різниця може бути або додатною, або від’ємною, або дорівнювати нулю.

Якщо числа не рівні, то результат порівняння чисел записують за допомогою числових нерівностей. При цьому використовують знаки нерівностей:

Читать еще:  Эксплуатационные требования насколько правильно приняты

· Якщо модуль деякого числa a менший від числa b, то число a більше зa число, протилежне числу b, і менше від числa b. Якщо |a| b, то a > b aбо a 2 рівносильн a нерівностям x > 1, x – 1 > 0 т a іншим .

Тотожн a нерівність — це нерівність , пр a вильн a при всіх вк a з a них зн a ченнях змінних .

З теорем рівносильності виплив a ють т a кі вл a стивості нерівностей зі змінними :

1. У будь-якій чaстині нерівності можнa розкрити дужки.

2. У будь-якій чaстині нерівності можнa звести подібні додaнки.

3. Будь-який член нерівності можнa перенести з однієї чaстини в іншу, зaмінивши його знaк нa протилежний.

4. Обидві чaстини нерівності можнa помножити aбо поділити нa одне й те сaме додaтне число.

5. Обидві чaстини нерівності можнa помножити aбо поділити нa одне й те сaме від’ємне число, зaмінивши при цьому знaк нерівності нa протилежний.

Розв’язування нерівностей з однією змінною

Розв’язaння нерівностей зводиться до зaміни його рівносильними більш простими — до нaйпростіших нерівностей виду x > a, x 8, з другої x –1) і n — нaтурaльне число, то n-й степінь суми 1 + х більше aбо дорівнює сумі числa 1 і добутку чисел nx: (1 + x) n ≥ 1 + nx. Н ап риклад : Доведіть, що при кожному дійсному значенні а нерівність є справедливою.

Складемо різницю лівої і правої частин нерівностей й перетворимо її:

.

При будь-якому значенні а утворена різниця – додатна, тому що значення виразу є невід’ємним, а значення виразу – додатним. Отже, при будь-якому значенні а нерівність є справедливою.

Нерівність з однією змінною

Нерівністю зі змінною (невідомим) називають два вирази зі змінною (невідомим), між якими стоїть один зі знаків нерівності: > (більше), 4, а число -1 не є розв’язком даної нерівності.

Розв’язати нерівність з однією змінною означає знайти всі її розв’язки або довести, що розв’язків немає.

Розв’язками нерівності є деяка множина чисел.

У таблиці наведено деякі числові множини, їх позначення, зображення на координатній прямій і запис у вигляді нерівності.

Розв’язування нерівностей, як правило, зводиться до заміни даної нерівності нерівністю, яка їй рівносильна.

Нерівності, які мають одні й ті самі розв’язки, називаються рівносильними. Нерівності, які не мають розв’язків, також вважаються рівносильними.

Наприклад: Нерівність х+2>3 рівносильна нерівності х+2-2>3-2, тобто х>1.

Наприклад: рівносильна нерівності , тобто х>6.

Перетворимо ліву і праву частини нерівності, тобто розкриємо дужки:

Перенесемо члени, що містять змінну до лівої частини нерівності, а члени, які не містять змінну, у праву частину нерівності, при цьому змінимо знаки членів на протилежні:

Зведемо подібні в лівій і правій частинах нерівності:

Поділимо обидві частини нерівності на -5, змінивши знак нерівності на протилежний:

Отже, розв’язком нерівності є проміжок (-∞;-2].

Системи нерівностей з однією змінною

Декілька нерівностей з однією змінною, відносно яких поставлено завдання знайти всі спільні розв’язки, називають системою нерівностей з однією змінною. Системою нерівностей позначають зліва фігурною дужкою, що їх об’єднує.

— системи нерівностей з однією змінною.

Розв’язком системи нерівностей з однією змінною називають значення змінної, при якому кожна нерівність перетворюється на правильну числову.

Наприклад: х=3 є розв’язком системи нерівностей

Розв’язати систему нерівностей означає знайти всі її розв’язки або довести, що розв’язків немає.

Розв’язування системи нерівностей з однією змінною, як правило, зводиться до заміни даної системи рівносильною їй системою.

Щоб розв’язати систему нерівностей з однією змінною слід:

Читать еще:  Правильно заливать фундамент частями

1) розв’язати кожну нерівність;

2) знайти спільні розв’язки даних нерівностей.

Зобразимо на координатній прямій множини розв’язків кожної з нерівностей.

Обидві нерівності справедливі при х≤-1,5. Відповідь можна записати у вигляді нерівності х≤-1,5 або числового проміжку (-∞;-1,5].

Розв’язати нерівність −8x +11 , тобто ми перейдемо до нерівності протилежного сенсу.
Отримаємо:

x>3 — розв’язок заданої нерівності.

Для запису розв’язку можна використовувати два варіанти: x>3 або у вигляді числового проміжку.

Позначимо множину розв’язків нерівності на числовій прямій і запишемо відповідь у вигляді числового проміжку.

Відповідь: x>3 або x∈(3;+∞)

Початковий і середній рівні

1.Виберіть три правильні нерівності: А) Б) В) Г) Д)

2.Укажіть правильні твердження:

1)Якщо то 2)якщо то

3)якщо то 4) якщо , то

3.Доберіть до кожної умови (А-Д) правильний висновок (1-5).

Яка з рівностей є правильною

Тема уроку. Числові та лінійні нерівності.

1. Яку подвійну нерівність задовольняє множина чисел, поданих на рисунку?

3. Який із проміжків є розв’язком нерівності 3х + 2 > х – 8?

4. Яка з нерівностей є правильною?

а) ; б) ; в) ; г) 0,(3) > .

5. Оцініть довжину сторони квадрата а см, знаючи, що його пе­риметр дорівнює Р см і 0,24 0 і п > 0. Порівняйте з нулем вираз т 5 п 6 .

7. Знайдіть середнє арифметичне всіх цілих чисел з проміж­ку (-4; 5].

а) ; б) 1; в) -4,5; г) -1.

8. Яке з наведених тверджень є неправильним?

а) Якщо почленно додати правильні нерівності одного знака, залишивши їх спільний знак, то дістанемо правильну чис­лову нерівність.

б) Якщо з однієї частини нерівності перенести в іншу доданок з протилежним знаком, то дістанемо нерівність, рівносиль­ну даній.

в) Число т більше від числа п, якщо т – п — додатне число.

г) Якщо обидві частини нерівності помножити або поділити на будь-яке число, то знак нерівності не зміниться.

1. При яких значеннях b різниця дробів і додатна?

2. Оцініть значення виразу , якщо 2 ≤ m ≤ 3.

3. При яких значеннях х визначена функція ?

4. Розв’яжіть нерівність (х – 1) 2 – (х + 2)(х – 3) ≤ 2х – 1 та запишіть відповідь у вигляді числового проміжку.

5. Доведіть, що вираз (х + 2)(х 2 – 2х + 4) – (х 2 – 2)(х + 1) набуває додатних значень при всіх дійсних значеннях х. Якого наймен­шого значення набуває цей вираз і при якому значенні х?

6. Розв’яжіть нерівність 4 – | x + 9| > 3(| x + 9| – 4).

Опрацювати конспект та виконати завдання в зошиті.

Яка з рівностей є правильною

Тема уроку. Числові та лінійні нерівності.

1. Яку подвійну нерівність задовольняє множина чисел, поданих на рисунку?

3. Який із проміжків є розв’язком нерівності 3х + 2 > х – 8?

4. Яка з нерівностей є правильною?

а) ; б) ; в) ; г) 0,(3) > .

5. Оцініть довжину сторони квадрата а см, знаючи, що його пе­риметр дорівнює Р см і 0,24 0 і п > 0. Порівняйте з нулем вираз т 5 п 6 .

7. Знайдіть середнє арифметичне всіх цілих чисел з проміж­ку (-4; 5].

а) ; б) 1; в) -4,5; г) -1.

8. Яке з наведених тверджень є неправильним?

а) Якщо почленно додати правильні нерівності одного знака, залишивши їх спільний знак, то дістанемо правильну чис­лову нерівність.

б) Якщо з однієї частини нерівності перенести в іншу доданок з протилежним знаком, то дістанемо нерівність, рівносиль­ну даній.

в) Число т більше від числа п, якщо т – п — додатне число.

Читать еще:  Правильно поднять уровень участка

г) Якщо обидві частини нерівності помножити або поділити на будь-яке число, то знак нерівності не зміниться.

1. При яких значеннях b різниця дробів і додатна?

2. Оцініть значення виразу , якщо 2 ≤ m ≤ 3.

3. При яких значеннях х визначена функція ?

4. Розв’яжіть нерівність (х – 1) 2 – (х + 2)(х – 3) ≤ 2х – 1 та запишіть відповідь у вигляді числового проміжку.

5. Доведіть, що вираз (х + 2)(х 2 – 2х + 4) – (х 2 – 2)(х + 1) набуває додатних значень при всіх дійсних значеннях х. Якого наймен­шого значення набуває цей вираз і при якому значенні х?

6. Розв’яжіть нерівність 4 – | x + 9| > 3(| x + 9| – 4).

Опрацювати конспект та виконати завдання в зошиті.

Яка з рівностей є правильною

Два вирази, сполучені знаком нерівності, утворюють нерівність.

Якщо обидві частини нерівності — числа, її назива­ють числовою нерівністю. Такі нерівності бувають пра­вильні і неправильні.

Властивості числових нерівностей

Тут розглядатимемо нерівності виду а d та ін., де а, b, с, d — довільні дійсні числа.

Теорема 4. Нерівності з однаковими знаками можна почленно додавати. Наприклад, якщо a .

Функція, яку можна задати формулою у = ах 2 + bx + c, де а не = 0, b, с — довільні числа, а х — аргу­мент, називається квадратичною функцією.

Приклади квадратичної функції: у = х 2 , у=х 2 , у = х 2 + 3, у = (х+4) 2 . їх графіки — рівні параболи, тільки по-різному розміщені на координатній площині.

Графік функції у = ах 2 — теж парабола; її вершина

лежить у початку координат, а вітки напрямлені вгору, якщо а>0, або вниз, якщо а 2 +bх+с і у=ах 2 — рівні параболи, які можна сумістити паралельним перене­сенням.

Описуючи властивості функції, звичайно починають з її області визначення. Область визначення функції — проекція її графіка на вісь х; область значень функ­ції — проекція її графіка на вісь у (мал. 96). Наприк­лад, область визначення функції у = х 2 —множина всіх дійсних чисел R, область її значень — проміжок [0; ∞). Область визначення і область значень функції у = 2 — проміжки [—2; 2] і [0; 2] (мал. 97).

Якщо для будь-яких двох значень аргументу більшо­му значенню аргументу відповідає більше (менше) зна­чення функції, то таку функцію називають зростаючою (спадною). Наприклад, функції у — 2х, у = х 3 , у=зростаючі, а функції у = —2х, у=спадні. Графік зростаючої функції «іде вгору», а спадної — «опус­кається вниз».

Можна також говорити про зростання чи спадання функції не на всій області визначення, а тільки на окре­мих проміжках. Наприклад, функція у = х 2 на проміж­ку (—∞; 0) спадає, а на (0;∞) зростає.

Якщо графік функції симетричний відносно осі г/, її називають парною. Якщо графік функції симетричний відносно початку координат, її називають непарною. Функція у = f(x) парна, якщо її область визначення симетрична відносно нуля і для кожного значення х з області визначення f(—х) = f(x).

Функція, задана формулою у = х п , де х — аргумент, а п — довільне натуральне число, називається степене­вою функцією з натуральним показником. Конкретні приклади таких функцій: у= х, у= х 2 , у = х 3 , у = х 4 , у = х 5 .

Степенева функція з натуральним показником п пар­на, якщо число п парне (мал. 98), або непарна, якщо число п непарне (мал. 99).

Ссылка на основную публикацию
Adblock
detector